题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交x轴于点N,M,若直线OT与以MN为直径的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
【答案】(1)y2=1(2)证明见解析;定值2
【解析】
(1)设a=2m,cm,则b=m.直线A2B2方程为mx﹣2my﹣2m2=0.由点到直线距离公式能求出m=1.由此能求出椭圆方程.
(2)由A1(0,1)A2(0,﹣1),设P(x0,y0),分别求出直线PA1和直线PA2,设圆G的圆心为,利用圆的性质能证明线段OT的长度为定值2;
(1)因为椭圆C的离心率e,故设a=2m,c
m,则b=m.
直线A2B2方程为bx﹣ay﹣ab=0,即mx﹣2my﹣2m2=0.
所以,解得m=1.
所以a=2,b=1,椭圆方程为y2=1;
(2)由(1)可知A1(0,1)A2(0,﹣1),设P(x0,y0),
直线PA1:y﹣1x,令y=0,得xN
,
直线PA2:y+1x,令y=0,得xM
,
设圆G的圆心为,
则.
OG2.
OT2=OG2﹣r2.
而y02=1,所以x02=4(1﹣y02),所以OT2=4,
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.
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