Question

14．要使函数f（x）=1+x+a•x²在（0，2]上有f（x）＞0恒成立．求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得1+x+a•x²＞0在（0，2]恒成立，运用参数分离和二次函数的最值的求法：配方，即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答 解：由题意可得1+x+a•x²＞0在（0，2]恒成立，
即有-a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$在（0，2]恒成立，
由y=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
又$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{2}$，函数y递增，
即有y的最小值为（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
则-a＜$\frac{3}{4}$，解得a＞-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．