Question

15．已知函数g（x）=λx+sinx定义在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上．
（1）若函数g（x）是增函数，求λ的最小值；
（2）当λ=1时，求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的极大值；
（3）当λ≥0时，求证：不存在实数t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数g′（x），利用g′（x）≥0进行求解即可．
（2）求函数的导数，判断函数的单调性即可．
（3）假设存在实数t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．将不等式转化为求g（x）_min＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即可得到结论．

解答 解：（1）函数的导数g′（x）=λ+cosx，
若函数g（x）是增函数，则g′（x）=λ+cosx≥0恒成立，
即λ≥-cosx，
∵-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤cosx≤1，
则-1≤-cosx≤0，则λ≥0，
即λ的最小值是0．
（2）当λ=1，则g（x）=x+sinx，
g′（x）=1+cosx＞0，则g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，则函数无极大值．
（3）当λ≥0时，g′（x）=λ+cosx，
当x∈[-1，1]时，g′（x）=λ+cosx＞0，
即g（x）在[-1，1]上为增函数，
∴g（x）_min=g（-1）=-λ-sin1．
若g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需-λ-sin1＞t²+λt+1．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＜0，λ≥0恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{t+1≤0}\\{h（0）={t}^{2}+sin1+1＜0}\end{array}\right.$，
而t²+sin1+1＞0，则t²+sin1+1＜0，无解，
即不存在实数t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

点评 本题主要考查函数单调性及函数恒成立问题．一次函数的恒成立问题一般要考虑一次项系数的符号及区间端点值的符号，属于难题．