题目内容
(2011•湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠﹣1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
(1)

(2)见解析
(1)由已知a
n+1=rS
n,则a
n+2=rS
n+1,两式相减得
a
n+2﹣a
n+1=r(S
n+1﹣S
n)=ra
n+1即a
n+2=(r+1)a
n+1又 a
2=ra
1=ra
∴当r=0时,数列{a
n}为:a,0,0,…;
当r≠0时,由r≠﹣1,a≠0,∴a
n≠0
由a
n+2=(r+1)a
n+1得数列{a
n}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时,a
n=r(r+1)
n﹣2a
综上数列{a
n}的通项公式为

(2)对于任意的m∈N
*,且m≥2,a
m+1,a
m,a
m+2成等差数列,理由如下:
当r=0时,由(1)知,

∴对于任意的m∈N
*,且m≥2,a
m+1,a
m,a
m+2成等差数列;
当r≠0,r≠﹣1时
∵S
k+2=S
k+a
k+1+a
k+2,S
k+1=S
k+a
k+1若存在k∈N
*,使得S
k+1,S
k,S
k+2成等差数列,则2S
k=S
k+1+S
k+2∴2S
k=2S
k+a
k+2+2a
k+1,即a
k+2=﹣2a
k+1由(1)知,a
2,a
3,…,a
n,…的公比r+1=﹣2,于是
对于任意的m∈N
*,且m≥2,a
m+1=﹣2a
m,从而a
m+2=4a
m,
∴a
m+1+a
m+2=2a
m,即a
m+1,a
m,a
m+2成等差数列
综上,对于任意的m∈N
*,且m≥2,a
m+1,a
m,a
m+2成等差数列.
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