Question

【题目】已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，

当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R递增，

当a＞0时，f′（x）=ex﹣a，

令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，

故f（x）在（lna，+∞）递增，在（﹣∞，lna）递减，

综上，a≤0时，函数f（x）在R递增，

a＞0时，f（x）在（lna，+∞）递增，在（﹣∞，lna）递减

（2）解：由（1）得，a≤0时，函数f（x）在R递增，不可能有2个零点，

当0＜a≤1时，函数f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，

故f（lna）为函数f（x）的最小值，

令k（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，a＞0，

k′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，

令k′（x）＞0，解得：0＜a＜1，

故函数k（a）在（0，1）递增，且k（1）=0，

故a∈（0，1）时，f（lna）＜0，

令m（a）=lna﹣（﹣ ）=lna+ ，a∈（0，1），

m′（a）= ＜0，

∴m（a）在（0，1）递减，

∴m（a）＞m（1）＞0，

即a∈（0，1）时，﹣ ＜lna＜0，

由于f（﹣ ）= ＞0，f（0）=0，

当a∈（0，1）时，函数f（x）有2个零点

【解析】（1）利用导函数讨论原函数的增减性。（2）根据导数研究函数在指定区间上的最值，进而得到函数在具体区间上的增减性，故可证明当a∈（0，1）时，函数f（x）有2个零点。
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．