Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）两点，且x1＜x2 ．
（I）若函数f（x）的最大值为2，求m的值；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：x1x2＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣x+m，

∴f′（x）= ﹣1=

当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

∴f（x）max=f（1）=ln1﹣1+m=2，

解得m=3，

（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＜k（1﹣ ）+xf′（x）+m﹣2，（k≤2）恒成立，

∴lnx﹣x+m＜k（1﹣ ）+1﹣x+m﹣2恒成立，

∴（lnx+1）＞k（x﹣3），k≤2，（*）

∵当x＞1时，（*）恒成立，

当x＞1时，（lnx+1）﹣k（x﹣3）＞0恒成立，

令g（x）=（lnx+1）﹣k（x﹣3），

∴g′（x）=lnx+2﹣k，

∵x＞1，k≤2，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，+∞）单调递增，

∴g（x）＞g（1）=1+2k＞0，

∴k＞﹣ ，

即k的取值范围为（﹣ ，2]；

（Ⅲ）函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．

结合（Ⅰ）可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），

∴ ∈（0，1），

∵f（x1）=f（x2），

∴lnx1﹣x1=lnx2﹣x2，

∴f（x1）﹣f（ ）=lnx1﹣x1+lnx2+ =lnx2﹣x2+lnx2+ =2lnx2﹣x2+ ，

令h（x）=2lnx﹣x+ ，x＞1，

∴h′（x）= ﹣1﹣ =﹣ =﹣ ＜0，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴h（x）＜h（1）=0，

∴f（x1）﹣f（ ）＜0，

∴f（x1）＜f（ ），

∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，

∴x1＜ ，

∴x1x2＜1

【解析】（1）利用导数讨论函数f（x）的单调性，从而求出f（x）的最大值；（2）构造函数g（x）=（lnx+1）-k（x-3），利用导数讨论g（x）在（1，+）内的单调性；（3）结合（1）确定x1、x2的取值范围，根据f（x1）=f（x2）找出x1与x2之间的关系，构造函数h（x）=2lnx-x+，利用导数讨论函数h（x）在（1，+）内的单调性.
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．