Question

【题目】已知函数 ，其中a∈R． （Ⅰ）给出a的一个取值，使得曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）存在极小值和极大值，证明：f（x）的极小值大于极大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0，且x≠2}，

f′（x）=﹣ + = ．

令f′（x）=0得x2﹣（4+a）x+4=0．

若曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，则方程x2﹣（4+a）x+4=0在定义域{x|x＞0，且x≠2}上有解，

不妨设x=1是方程x2﹣（4+a）x+4=0的解，则a=1．

∴当a=1时，曲线y=f（x）存在斜率为0的切线．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f′（x）=﹣ + ．

①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在区间（0，2）和（2，+∞）上单调递增，不合题意．

②当a＞0时，令f′（x）=0，得x2﹣（4+a）x+4=0．

△=（4+a）2﹣16=a2+8a＞0，

∴方程必有两个不相等的实数解x1，x2，不妨设x1＜x2．

则 ，∴0＜x1＜2＜x2．

列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，2）	（2，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

∴f（x）存在极大值f（x1），极小值f（x2）．

f（x2）﹣f（x1）=（ +lnx2）﹣（ +lnx1）=a（ ）+（lnx2﹣lnx1）．

∵0＜x1＜2＜x2，且a＞0，

∴a（ ）＞0，lnx2﹣lnx1＞0，

∴f（x2）＞f（x1）．

∴f（x）的极小值大于极大值

【解析】（I）令f′（x）=0在定义域上有解即可；（II）判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，再利用作差法计算极值的差即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．