Question

3．若m+k=3，则S=m•3^m+k•3^k的最小值为9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据m+k=3．进行分类讨论，分别构造函数f（m）=m•3^m，g（m）=（3-m）•3^3-m，分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最值

解答 解：∵m+k=3，
∴S=m•3^m+k•3^k=m•3^m+（3-m）•3^3-m，
设f（m）=m•3^m，g（m）=（3-m）•3^3-m，
当m≤0时，g（m）为增函数，且g（m）≥g（0）=81，
f（m）=-|m|•3^-|m|，由于从y=x与y=2x的图象易知，|m|≤3^|m|，
∴|m|•3^-|m|≤1，
∴f（m）=-|m|•3^-|m|≥-1，
∵S=f（m）+g（m）≥-1+81=80；
当m≥3时，由于f（m）与h（m）关于x=1对称，同上可得f（m）≥80，
当0＜m＜3时，f（0）=g（3），f（3）=g（0）=81，
∴f′（m）=（mln3+1）3^m＞0，
g′（m）=-[（3-m）ln3+1]3^3-m＜0，且f′（m），g′（m）均为单调递增，
当0＜m＜$\frac{3}{2}$，f′（m）＜f′（1）=${2}^{\frac{3}{2}}$（$\frac{3}{2}$ln3+1），g′（m）＜g（$\frac{3}{2}$）=-${2}^{\frac{3}{2}}$（$\frac{3}{2}$ln3+1），
∴S′=f′（m）+g′（m）＜0单调递减，
当$\frac{3}{2}$≤m＜3时，同理可得S′=f′（m）+g′（m）≥0单调递增（当m=$\frac{3}{2}$时等号成立）
所以当m=$\frac{3}{2}$时，S取得最小值，最小值为9$\sqrt{3}$
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是掌握等号成立的条件，属于中档题．