Question

8．已知（1+x）²⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，则$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+10{a}_{10}}{{2}^{10}}$的值为（　　）

• A． 20
• B． 15
• C． 5
• D． 1

Answer 1

分析 在所给的等式中，令n=10，两边同时求导可得10 （1+x）⁹=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+10a₁₀x⁹，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀的值．

解答 解：对于（1+x）²⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，
可得（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，两边同时求导可得
10 （1+x）⁹=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+10a₁₀x⁹，
再令x=1可得 a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10•2⁹=5120，
$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+10{a}_{10}}{{2}^{10}}$=$\frac{5120}{{2}^{10}}$=$\frac{5×{2}^{10}}{{2}^{10}}$=5．
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于中档题．