题目内容
【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1 , M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)求证:MN⊥平面A1BC;
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.
【答案】
(1)证明:如图,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,得BC⊥平面ACC1A1.连接AC1,则BC⊥AC1.
又侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.
又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连接AB1,则点M是AB1的中点.
又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)解:如图所示,因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,
连接BD,则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角.
设AC=BC=CC1=a,则C1D= a,BC1= a.
在Rt△BDC1中,sin ∠C1BD= = ,所以∠C1BD=30°,故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
【解析】(I)证明线面垂直,关键是证明线线垂直,根据BC⊥AC1,A1C⊥AC1,AC1⊥平面A1BC,又因为MN∥AC1,可得;
(II)由AC1⊥平面A1BC,得∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角,解三角形即可.
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