Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，当n≥2时，Sn=2an ．
（1）求证数列{an}为等比数列，并求出an的通项公式；
（2）设若bn=an+1﹣1，设数列{anbn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，当n≥2时，Sn=2an，…①，Sn﹣1=2an﹣1，…②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，n≥2，∵a1=1，

∴ =2，

∴数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴an=1×2n﹣1=2n﹣1．

（2）解：∵bn=an+1﹣1，∴anbn=an（an+1﹣1）=2n﹣1（2n﹣1）= ×4n﹣2n﹣1

∴Tn= ×

= ×4n﹣2n+

【解析】（1）由已知得an=2an﹣2an﹣1 ， 从而得到数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出an ． （2）由anbn= ×4n﹣2n﹣1 ， 利用分组求和法能求出数列{anbn}的前n项和．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．