题目内容
【题目】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?
【答案】
(1)解:设楼房每平方米的平均综合费为y元,依题意得
y=(560+48x)+ =560+48x+ (x≥10,x∈N*);
(2)解:法一:∵x>0,∴48x+ ≥2 =1440,
当且仅当48x= ,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000元.
答:当该楼房建造15层,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
法二:先考虑函数y=560+48x+ (x≥10,x∈R);
则y'=48﹣ ,令y'=0,即48﹣ =0,解得x=15,
当0<x<15时,y'<0;当x>15时,y'>0,又15∈N*,
因此,当x=15时,y取得最小值,ymin=2000元.
答:当该楼房建造15层,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元
【解析】(1)由已知得,楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和,由已知中某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋x层,每层2000平方米的楼房,我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)由(1)中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式,要求楼房每平方米的平均综合费用最小值,我们有两种思路,一是利用基本不等式,二是使用导数法,分析函数的单调性,再求最小值.