Question

【题目】2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：

（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；
（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，

∴a=0.06，

该抽样方法是系统抽样；

（2）解：根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；

∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，

第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，

∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5x≈2.9，

∴数据的中位数为77.9；

（3）解：样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），

∴估计该路段车辆超速的概率P= = ．

【解析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；（2）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；（3）利用直方图求出样本中车速在[90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平均数、中位数、众数的相关知识，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据．