题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数).
(1)求函数的值域;
(2)若不等式对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)先对函数求导,判断出函数单调性,进而可得出值域;
(2)先由题意,将问题转化为对任意
恒成立,构造函数
,对函数
求导,用导数方法判断其单调性,求其最小值,即可得出结果.
(3)令,对函数
求导,用导数方法研究其单调性,求其最小值,只需最小值大于0即可.
(1)因为,
所以,
∵,∴
,
∴,所以
,
故函数在
上单调递减,函数
的最大值为
;
的最小值为
,
所以函数的值域为
.
(2)原不等式可化为 …(*),
因为恒成立,故(*)式可化为
.
令,则
,
当时,
,所以函数
在
上单调递增,故
,所以
;
当时,令
,得
,
所以当时,
;当
时,
.
所以当,即
时,函数
成立;
当,即
时,函数
在
上单调递减,
,解得
综上,.
(3)令,则
.
由,故存在
,使得
,
即 .
所以,当时,
;当
时,
.
故当时,函数
有极小值,且是唯一的极小值,
故函数
,
因为,所以
,
故,
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】携号转网,也称作号码携带、移机不改号,即无需改变自己的手机号码,就能转换运营商,并享受其提供的各种服务.2019年11月27日,工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户,从运营系统中选出300名客户,对业务水平和服务水平的评价进行统计,其中业务水平的满意率为,服务水平的满意率为
,对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.
(Ⅰ)完成下面列联表,并分析是否有
的把握认为业务水平与服务水平有关;
对服务水平满意人数 | 对服务水平不满意人数 | 合计 | |
对业务水平满意人数 | |||
对业务水平不满意人数 | |||
合计 |
(Ⅱ)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意见,用表示对业务水平不满意的人数,求
的分布列与期望;
(Ⅲ)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为,只对其中一项不满意的客户流失率为
,对两项都不满意的客户流失率为
,从该运营系统中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?
附:,
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |