题目内容
【题目】设函数,其中
N
,
≥2,且
R.
(1)当,
时,求函数
的单调区间;
(2)当时,令
,若函数
有两个极值点
,
,且
,求
的取值范围;
(3)当时,试求函数
的零点个数,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)将,
代入解析式,求出函数的导数,从而即可得到函数
的单调区间;
(2)由题意知,求导,从而可得
,由方程
有两个不相等的正数根
,
(
)可得
,由方程得
,且
,由此分析整理即可得到答案;
(3)求出函数的导数,得到的单调性,求出
的最小值,通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可.
(1)依题意得,,
,
∴ .
令,得
;令
,得
.
则函数在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由题意知:.
则,
令,得
,
故方程有两个不相等的正数根
,
(
),
则 解得
.
由方程得,且
.
由,得
.
,
.
,即函数
是
上的增函数,
所以,故
的取值范围是
.
(3)依题意得,,
,
∴ .
令,得
,∴
,∵
,
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增,
∴.
令(
),则
,
∴,
∴,即
.
∵,∴
,
又∵,
∴,
根据零点存在性定理知函数在
和
各有一个零点.

【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(I)应收集多少位男生样本数据?
(II)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:,
,
,
,
,
,试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率;
(Ⅲ)在样本数据中,有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
男生 | 女士 | 总计 | |
每周平均体育运动时 间不超过4小时 | |||
每周平均体育运动时 间超过4小时 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |