Question

14．若△ABC中，a=2bcosC，且sin²B+sin²C=2sin²A，则该三角形一定为（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 等腰钝角三角形
• C． 等边三角形
• D． 不存在这样的三角形

Answer 1

分析 由 sinA=2sinBcosC，可得sin（B-C）=0，B=C，结合正弦定理及已知等式可得a=b=c，从而得解．

解答 解：由 a=2bcosC，
可得：sinA=2sinBcosC，
可得 sin（B+C）=2sinBcosC，
即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sin（B-C）=0，
∴B=C，
故△ABC为等腰三角形．
在△ABC中，∵2sin²A=sin²B+sin²C，
∴2sin²A=2sin²B=2sin²C，
∴由正弦定理可得a=b=c，
综上，△ABC为等边三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．