题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求证:当时,
的图象位于直线
上方;
(Ⅱ)设函数,若曲线
在点
处的切线与
轴平行,且在点
处的切线与直线
平行(
为坐标原点),求证:
.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)转化为当时,
恒成立,令
,求得
和
,结合函数的单调性,求得
,进入得到
,即可得到结论.
(Ⅱ)设,由
,解得
,得到
,所以
,进而得到要证
,转化为
,构造新函数
,求得函数的单调性与最值,即可求解.
(Ⅰ)由题意,当时,
的图象位于直线
上方,
即证当时,
恒成立,
令,可得
,则
,
所以在
上单调递增,
所以,所以
在
上单调递增,所以
,
所以当时,
的图象始终在直线
上方.
(Ⅱ)因为,则
,
设,则
,所以
,
所以,所以
,所以
.
要证,
即证,即证
,即证
,
下面证明.令
,∴
,
所以当,
,
,
,
所以在
单调递减,在
单调递增,
所以,即
,
所以,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】针对某新型病毒,某科研机构已研发出甲乙两种疫苗,为比较两种疫苗的效果,选取100名志愿者,将他们随机分成两组,每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗,第二组志愿者注射乙种疫苗,经过一段时间后,对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测,发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体,在未产生该新型病毒抗体的志愿者中,注射甲种疫苗的志愿者占
.
产生抗体 | 未产生抗体 | 合计 | |
甲 | |||
乙 | |||
合计 |
(1)根据题中数据,完成列联表;
(2)根据(1)中的列联表,判断能否有的把握认为甲乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式:,其中
.
参考数据:
【题目】某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取
名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到如下的频率分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | |||
第二组 | |||
第三组 | |||
第四组 | |||
第五组 |
(1)请写出频率分布表中、
、
的值,若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替,请估计全体考生的平均成绩;
(2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第、
、
组中用分层抽样的方法抽取
名考生进入第二轮面试,求第
、
、
组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试;
(3)在(2)的前提下,学校要求每个学生需从、
两个问题中任选一题作为面试题目,求第三组和第五组中恰好有
个学生选到问题
的概率.