Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求证：当时，的图象位于直线上方；

（Ⅱ）设函数，若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（为坐标原点），求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）转化为当时，恒成立，令，求得和，结合函数的单调性，求得，进入得到，即可得到结论.

（Ⅱ）设，由，解得，得到，所以，进而得到要证，转化为，构造新函数，求得函数的单调性与最值，即可求解.

（Ⅰ）由题意，当时，的图象位于直线上方，

即证当时，恒成立，

令，可得，则，

所以在上单调递增，

所以，所以在上单调递增，所以，

所以当时，的图象始终在直线上方．

（Ⅱ）因为，则，

设，则，所以，

所以，所以，所以．

要证，

即证，即证，即证，

下面证明．令，∴，

所以当，，，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即，

所以，．