题目内容
13.在△ABC中,角A,B,C对边分别是a,b,c,已知3cos2C-10cos(A+B)-1=0,若c=1,cosA+cosB=$\frac{10}{9}$,求边a.分析 运用三角形的内角和定理和二倍角公式,求得cosC,sinC,再由B=π-A-C,结合同角的平方关系,求得sinA,再由正弦定理,可得a.
解答 解:由A+B+C=π,可得
3cos2C+10cosC-1=0,
即为3(2cos2C-1)+10cosC-1=0,
3cos2C+5cosC-2=0,
解得cosC=$\frac{1}{3}$(-2舍去),
则sinC=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
由cosA+cosB=$\frac{10}{9}$,
可得cosA-cos(A+C)=$\frac{10}{9}$,
即有cosA-($\frac{1}{3}$cosA-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinA)=$\frac{10}{9}$,
cosA+$\sqrt{2}$sinA=$\frac{5}{3}$,
由cos2A+sin2A=1,
解得cosA=$\frac{7}{9}$,sinA=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$,
由正弦定理,可得
a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{2}{3}$.
点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,同时考查同角的平方关系和二倍角公式的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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