Question

17．用单调性的定义证明：函数f（x）=$\frac{x}{x{\;}^{2}+1}$在区间（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 用单调性的定义证明函数的单调性时，基本步骤是取值、作差，判正负，下结论．

解答 证明：任取x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{{（x}_{2}-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$；
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，${{x}_{1}}^{2}$+1＞0，${{x}_{2}}^{2}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在区间（1，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了利用单调性的定义来证明函数的单调性问题，是基础题目．