Question

7．已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R）．
（1）若f（4）=0，画出f（x）的图象，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下求F（x）在[1，5]上的最值；
（3）讨论f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，化为分段函数，画出图象，由图象可得单调区间；
（2）求出单调性，计算即可得到最值；
（3）运用奇偶性的定义，讨论m=0，m≠0时，计算f（-x）和f（x）的关系，即可判断．

解答 解：（1）由f（4）=0即m=4，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-4），x≥4}\\{x（4-x），x＜4}\end{array}\right.$，
f（x）的增区间为（-∞，2），（4，+∞），
减区间为（2，4）；
（2）由（1）可得f（x）在[1，2]递增，[2，4]递减，
[4，5]递增，
由f（2）=4，f（5）=5，可得f（x）的最大值为5；
f（4）=0为最小值；
（3）当m=0时，f（x）=x|x|，
f（-x）=-x|-x|=-f（x），即f（x）为奇函数；
当m≠0时，f（-x）=-x|m+x|≠-f（x），且≠f（x），
即f（x）为非奇非偶函数．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，考查函数的最值的求法，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．