Question

【题目】设函数f（x）=sin（2ωx+ ）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是 ．
（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；
（2）若x∈ ，函数 ﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，根据五点法作图可得2ω + = ，求得ω= ；

所以函数y=f（x）=sin（x+ ）的最小正周期是T=2π；

令x+ = +kπ，k∈Z，

解得x= +kπ，k∈Z，

所以函数y=f（x）的对称轴是x= +kπ，k∈Z

（2）解：由（1）可得函数f（x）=sin（x+ ），

在区间[﹣ ， ]上，x+ ∈[0， ]，

所以f（x）=sin（x+ ）∈[﹣ ，1]；

所以g（x）=sin2[（x+ ）+ ]﹣asin（x+ ）+1

=1﹣sin2（x+ ）﹣asin（x+ ）+1

=﹣ +2+ ；

当﹣ ≤﹣ ≤1时，﹣2≤a≤1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2+ =0，无解；

当﹣ ＜﹣ 时，a＞1，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣ ﹣a=0，解得a= ；

当﹣ ＞1时，a＜﹣2，函数g（x）的最小值是g（x）min=2﹣1﹣a=0，解得a=1（不合题意，舍去）；

综上，函数g（x）取得最小值0时，a=

【解析】（1）由题意，根据五点法作图求出ω的值，即可求函数y=f（x）的最小正周期；写出函数y=f（x）的解析式，即可求出它的对称轴；（2）求出函数f（x）在区间[﹣ ， ]上的取值范围，再化简函数g（x），讨论a的取值，求出函数g（x）取最小值0时a的值．