Question

【题目】已知定义在R的奇函数满足，且时， ，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号__________。

Answer 1

【答案】①④

【解析】取x=1,得f(14)=f(3)=f(1)=log2(1+1)=1，,所以f(3)=f(3)=1，故①正确；

定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),则f(x4)=f(x)，

∴f(x2)=f(x2)，

∴函数f(x)关于直线x=2对称，

由于函数对称中心原点(0,0)的对称点为(4,0),故函数f(x)也关于(4,0)点对称，故③不正确；

∵x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数，

由奇函数在对称区间上单调性相同可得,x∈[2,0]时，函数为单调增函数，

∴x∈[2,2]时，函数为单调增函数，

∵函数f(x)关于直线x=2对称,∴函数f(x)在[6,2]上是减函数，故②不正确；

若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)m=0在[8,8]上有4个根，其中两根的和为6×2=12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为8.故④正确

故答案为：①④