题目内容
17.设a、b、c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1
(2)ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$.
分析 (1)通过基本不等式可知$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a,$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b,$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c,利用a+b+c=1相加计算即得结论;
(2)利用基本不等式可知a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1计算即得结论.
解答 证明:(1)∵$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a,$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b,$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c,
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+(a+b+c)≥2(a+b+c),
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c.
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1;
(2)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
又∵(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1,
∴3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$.
点评 本题考查不等式的证明,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 2cosθ-cos2θ | B. | cosθ+sinθ | C. | 2cosθ(1+cosθ) | D. | 2sinθ+cosθ-$\sqrt{2}$ |