Question

2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}$=4cosC，且2a=c，则cosA=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把已知等式中角的正弦转化成边，利用余弦定理表示cosC，建立等式求得a和b的关系，最后求得a²+c²=b²，判断出为直角三角形．

解答 解：$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}$=4cosC，可得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=4cosC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}=4•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理求得a²+b²-2c²=0，2a=c，b=$\sqrt{7}$a，
cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$=$\frac{{4a}^{2}+7{a}^{2}-{a}^{2}}{2×2a×\sqrt{7}a}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．主要是利用这两个定理完成边和角问题的转化．