题目内容

7.设函数f(x)=x|x-a|+b
(1)求证:当f(x)为奇函数时a2+b2=0
(2)设常数b<2$\sqrt{2}$-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)利用奇函数的定义,即可证明a2+b2=0.
(2)分类讨论:①当x=0时a取任意实数不等式恒成立;②当0<x≤1时f(x)<0恒成立,再转化为x+$\frac{b}{x}$<a<x-$\frac{b}{x}$恒成立问题,利用函数g(x)=x+$\frac{b}{x}$的最值即可求得实数a的取值范围.

解答 解:(1)若f(x)为奇函数
则对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0恒成立,
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0,得b=0;令x=a,得a=0.∴a2+b2=0(6分)
(2)由b<2$\sqrt{2}$-3<0,当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0<x≤1时f(x)<0恒成立,也即x+$\frac{b}{x}$<a<x-$\frac{b}{x}$恒成立
令g(x)=x+$\frac{b}{x}$在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b(10分)
令h(x)=x-$\frac{b}{x}$,则h(x)在(0,$\sqrt{-b}$]上单调递减,[$\sqrt{-b}$],+∞)单调递增
1°当b<-1时h(x)=x-$\frac{b}{x}$在0<x≤1上单调递减
∴a<hmin(x)=h(1)=1-b.∴1+b<a<1-b.(12分)
2°当-1≤b<2$\sqrt{2}$-3时,h(x)=x-$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{-b}$],
∴a<hmin(x)=2$\sqrt{-b}$],∴1+b<a<2$\sqrt{-b}$].(14分)

点评 本小题主要考查函数单调性、奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于中档题.

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