题目内容
【题目】
已知数列中,
,前项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为
,是否存在实数
,使得
对一切正整数都成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
的最小值为
【解析】
试题(1)给出与
的关系,求
,常用思路:一是利用
转化为
的递推关系,再求其通项公式;二是转化为
的递推关系,先求出
与
的关系,再求
;(2)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.(3)在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简,这样给做题带来方便,掌握常见求和方法,如分组转化求和,裂项法,错位相减.
试题解析:(1)∵
∴
∴
整理得
∴
两式相减得
即
∴,
即
∴数列是等差数列
且,得
,则公差
∴
(2)由(1)知
∴
∴
则要使得对一切正整数都成立,只要
,所以只要
∴存在实数,使得
对一切正整数都成立,且
的最小值为
.
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