题目内容
【题目】
已知数列
中，
，前项和
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列
的前项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
的最小值为
【解析】
试题（1）给出
与
的关系，求，常用思路：一是利用
转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与
的关系，再求；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.
试题解析：（1）∵
∴
∴
整理得
∴
两式相减得
即
∴
，
即
∴数列
是等差数列
且
，得
，则公差
∴
（2）由（1）知
∴
∴
则要使得
对一切正整数都成立，只要
，所以只要
∴存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为.
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