Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或

【解析】

分析：（1）由曲线的参数方程，利用代入法消去参数，可得的普通方程，由曲线的极坐标方程得，利用互化公式可得的直角坐标方程；（2）设曲线上任意一点为，，利用点到直线距离公式结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.

详解：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．

由曲线的极坐标方程得，，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．

∵，∴，，

当时，即；

当时， ．∴或．