Question

【题目】某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.

表：设备改造后样本的频数分布表

质量指标值
频数

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

	设备改造前	设备改造后	合计
合格品
不合格品
合计

（2）根据频率分布直方图和表 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.

附：

Answer 1

【答案】(1)列联表见解析； 有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关。

(2)设备改造后性能更优．

(3)分布列见解析；.

【解析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成列联表，求出，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和

设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量的取值为：，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.

详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．

完成下面的列联表：

	设备改造前	设备改造后	合计
合格品
不合格品
合计

将列联表中的数据代入公式计算得：

∵，

∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．

（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．

可知，设备改造前产品为合格品的概率约为

设备改造后产品为合格品的概率约为

设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．

（3）由表 1 知：

一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；

二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；

三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.

由已知得：随机变量的取值为：．

∴随机变量的分布列为：

∴.