题目内容
4.已知数列{an}满足an+1-an=2(n∈N*),且a1,a4,a13成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和;
(Ⅱ)设数列$\left\{\frac{1}{{S}_{n}}\right\}$的前n项和为Tn,证明:${T}_{n}≤\frac{3}{4}$(n∈N*).
分析 (Ⅰ)由题意和等差数列的定义判断出数列{an}是等差数列,由等比中项的性质和条件列出方程,求出首项a1,代入等差数列的通项公式、前n项和公式化简;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出$\frac{1}{{S}_{n}}$并化简,利用裂项相消法求出Tn,由n的取值范围即可证明结论成立.
解答 解:(Ⅰ)由${a}_{n+1}-{a}_{n}=2(n∈{N}^{*})$得,数列{an}是以2为公差的等差数列,
∵a1,a4,a13成等比数列,∴${a}_{1}({a}_{1}+24)=({a}_{1}+6)^{2}$,
解得a1=3,
则an=a1+(n-1)d=2n+1,
Sn=3n+$\frac{n(n-1)}{2}•2$=n2+2n;
(Ⅱ)由(I)得,$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{n(n+2)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$),
∴Tn=$\frac{1}{2}$[(1-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$)+…+($\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$)+($\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$)]
=$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$)=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}$$≤\frac{3}{4}$
则${T}_{n}≤\frac{3}{4}$成立.
点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,以及裂项相消法求数列的和,是数列与不等式结合的题,属于中档题.
A. | (-1,0) | B. | (1,+∞) | C. | (-1,0)∪(1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(1,+∞) |
A. | y=x+1 | B. | y=tanx | C. | y=log2x | D. | y=x3 |