题目内容

已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上一点A(m,-3)到焦点F的距离是5,求抛物线的方程及m的值.
分三种情况加以讨论
(1)当抛物线焦点在x轴正半轴上时,设其方程为y2=2px(p>0)
代入A点坐标,得2pm=9…①
∵抛物线上一点A(m,-3)到焦点F的距离为5
∴m+
p
2
=5…②
将①②两式联解得:m=
1
2
、p=9或m=
9
2
、p=1,
相应的抛物线方程为y2=18x和y2=2x;
(2)当抛物线焦点在x轴负半轴上时,设其方程为y2=-2px(p>0)
代入A点坐标,得-2pm=9…③
∵抛物线上一点A(m,-3)到焦点F的距离为5,∴-m+
p
2
=5…④
将③④两式联解得:m=-
1
2
、p=9或m=-
9
2
、p=1,
相应的抛物线方程为y2=-18x和y2=-2x;
可得m=-
1
2
或m=
9
2
,相应的抛物线方程为y2=-18x或y2=-2x;
(3)当抛物线焦点在y轴上时,设其方程为x2=-2qy(q>0)
将点A(m,-3)代入方程,得m2=6q…③
∵抛物线上一点A(m,-3)到焦点F的距离为5
∴3+
q
2
=5解之得q=4,代入③得m=±2
6

此时抛物线的方程为x2=-8y,
综上所述,抛物线方程为y2=18x,m=
1
2
;或抛物线方程为y2=2x,m=
9
2
;或抛物线方程为y2=-18x,m=-
1
2
;或抛物线的方程为y2=-2x,m=
9
2
;或抛物线的方程为x2=-8y,m=±2
6
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