Question

【题目】已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ， 第n项之后各项an+1 ， an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．
（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N* ， an+4=an），写出d1 ， d2 ， d3 ， d4的值；
（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

Answer 1

【答案】
（1）解：若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，

d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．

（2）证明：

充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，

∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若 dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1＜0的项，

则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，这与dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．

∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，故{an}是公差为d的等差数列．

（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），首先，{an}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．

而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：

假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于{an}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．

当n≥m时，an≥2，否则与dm=1矛盾．

因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使ai=1，此时，di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0，矛盾．

综上，{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．

下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．

若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0，矛盾，

故{an}的项中，有无穷多项为1．

综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

【解析】（1）根据条件以及dn=An﹣Bn的定义，直接求得d1 ， d2 ， d3 ， d4的值．（2）设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，从而证得dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{an}是一个不减的数列，求得dn=An﹣Bn=﹣d，即 an+1﹣an=d，即{an}是公差为d的等差数列，命题得证．（3）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，再用反证法得到{an}的项不能超过2，
从而证得命题．
【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和等比关系的确定，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断才能得出正确答案．