Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求证：平面.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.

证明：（Ⅰ）因为平面，

所以.

因为，，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点

所以，且.

因为为的中点，底面为正方形，

所以，且.

所以，且.

所以四边形为平行四边形.

所以.

因为平面且平面，

所以平面.

（Ⅲ）在正方形中，，

因为平面，

所以.

因为，

所以平面.

所以.

在△中，设交于.

因为，

且分别为的中点，

所以.所以.

设，由已知，

所以.所以.

所以.

所以，且为公共角，

所以△∽△.

所以.

所以.

因为，

所以平面.