题目内容
【题目】已知
为圆
上一动点，在
轴，
轴上的射影分别为点
，
，动点
满足
，记动点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
的直线与曲线交于
，
两点，判断以
为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）定点
【解析】
（1）设
，
，利用所给条件建立关系式，利用点
在上可得
的方程，即为所求；
（2）设顶点为
，设出直线
的方程，与椭圆的方程联立方程组，得到根与系数的关系，以及
，利用向量的数量积为0得到恒等式，求得的坐标即可．
（1）设，，则
，
由
，可得
，代入，得，
故曲线
的方程为；
（2）假设存在满足条件的定点，
由对称性可知该定点必在
轴上，设定点为
，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
联立
得
，
设
，
，
则
，
，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，
对任意的
恒成立，
所以
，解得
，即定点为
，
当直线的斜率不存在时，以
为直径的圆也过点
，
故以为直径的圆过定点.
【题目】某种规格的矩形瓷砖
根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量
都服从正态分布
，并把质量在
之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．
（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为
、
，则“尺寸误差”
为
，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是
，
、
，
、
，
（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于
的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：
尺寸误差 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
频数 | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．
（ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为
（元
，求的分布列及数学期望
．
（ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．
附：若随机变量
服从正态分布，则
；
，
，
．
