题目内容
【题目】已知为圆
上一动点,
在
轴,
轴上的射影分别为点
,
,动点
满足
,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
,
两点,判断以
为直径的圆是否过定点?求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)定点
【解析】
(1)设,
,利用所给条件建立关系式,利用点
在上可得
的方程,即为所求;
(2)设顶点为,设出直线
的方程,与椭圆的方程联立方程组,得到根与系数的关系,以及
,利用向量的数量积为0得到恒等式,求得
的坐标即可.
(1)设,
,则
,
由,可得
,代入
,得
,
故曲线的方程为
;
(2)假设存在满足条件的定点,
由对称性可知该定点必在轴上,设定点为
,
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
联立得
,
设,
,
则,
,
所以,
,
因为,
,
所以,
对任意的恒成立,
所以,解得
,即定点为
,
当直线的斜率不存在时,以
为直径的圆也过点
,
故以为直径的圆过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷砖质量
都服从正态分布
,并把质量在
之外的瓷砖作为废品直接回炉处理,剩下的称为正品.
(Ⅰ)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查,求至少有1片是废品的概率;
(Ⅱ)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别为、
,则“尺寸误差”
为
,按行业生产标准,其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是
,
、
,
、
,
(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于
的瓷砖),每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
尺寸误差 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
频数 | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率.
(ⅰ)记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为(元
,求
的分布列及数学期望
.
(ⅱ)由如图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.
附:若随机变量服从正态分布
,则
;
,
,
.