题目内容
【题目】某种规格的矩形瓷砖
根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量
都服从正态分布
，并把质量在
之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．
（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为
、
，则“尺寸误差”
为
，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是
，
、
，
、
，
（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于
的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：
尺寸误差 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
频数 | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．
（ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为
（元
，求的分布列及数学期望
．
（ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．
附：若随机变量
服从正态分布，则
；
，
，
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）详见解析（ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）先计算出这10片质量全都在
之内（即没有废品）的概率，再用1减之。
（Ⅱ）（ⅰ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由图得到得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；再计算出其分布列与期望即可。
（ⅱ）若5片中有
片“优等”品，则
，得到
，则取4或5；再计算即可得出答案。
（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率为
；
则这10片中至少有1片是废品的概率为
；
（Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，
得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；
则
的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；
计算
，
，
，
，
，
，
得到的分布列如下：
| 15 | 14 | 13 | 12.5 | 11.5 | 10 |
| 0.49 | 0.28 | 0.04 | 0.14 | 0.04 | 0.01 |
数学期望为
（元
；
（ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有
片“一级”品，
由已知，解得，则取4或5；
故所求的概率为
．
