Question

【题目】已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：
（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：
（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0

令 ，解得x=y=2

∴直线l恒过定点A（2，2），

（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，

∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交

（2）

解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l

∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圆心C（3，4），半径为3

∴CA的斜率为2，

∴l的斜率为﹣

∵直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率为

∴ =﹣

∴t=﹣

∵|CA|= =

∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2 =4

【解析】（1）直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程组 ，可得直线l恒过定点，即可得出结论；（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．