Question

【题目】已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为﹣ ，求面积S的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，直线l1的方程为y= x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d= = ，

因为|AB|=2|AO|=2 ，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；

当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；

（2）解：方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣ ，

设直线l1的方程为y=kx，联立方程组 ，消去y解得x=± ，

根据对称性，设x1= ，则y1= ，

同理可得x2= ，y2= ，所以S=2|x1y2﹣x2y1|= ．

方法二：设直线l1、l2的斜率分别为 、 ，则 =﹣ ，

所以x1x2=﹣2y1y2，

∴ =4 =﹣2x1x2y1y2，

∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，

∴（ ）（ ）= +4 +2（ + ）=1，

即﹣4x1x2y1y2+2（ + ）=1，

所以（x1y2﹣x2y1）2= ，即|x1y2﹣x2y1|= ，

所以S=2|x1y2﹣x2y1|= ．

【解析】（1）依题意，直线l1的方程为y= x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d= ，再利用|AB|=2|AO|=2 ，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣ ，可得直线l1与l2的方程，联立方程组 ，可求得x1、x2、y1、y2 ， 继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为 、 ，则 =﹣ ，利用A（x1 ， y1）、C（x2 ， y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．
【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．