Question

12．已知 ${（\sqrt{x}+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$的展开式中含 x²项的系数为12，则展开式的常数项为160．

Answer 1

分析 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x²项的系数，再根据 x²项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：由于 ${（\sqrt{x}+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•a^r•x^3-r，
令3-r=2，可得r=1，故展开式中含 x²项的系数为6a=12，可得a=2．
再令3-r=0，可得r=3，故展开式的常数项为${C}_{6}^{3}$•2³=160，
故答案为：160．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．