题目内容

17.设函数f(x)=cosx-$\sqrt{3}sinx$(x∈R).
(1)求函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的值域;
(2)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c若f(A-$\frac{π}{3}$)=1,且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,求sinB的值.

分析 (1)首先通过三角函数的恒等变换,把函数关系式变形成余弦型函数,进一步利用函数的定义域求函数的值域.
(2)利用(1)求出的函数关系式,进一步求出A的大小,在利用正弦定理求出结果.

解答 解:(1)函数f(x)=cosx-$\sqrt{3}sinx$
=2($\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$)
=$2cos(x+\frac{π}{3})$.
由于:$0≤x≤\frac{π}{2}$,
所以:$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤cos(x+\frac{π}{3})≤\frac{1}{2}$
则:函数f(x)的值域为:[-$\sqrt{3}$,1].
(2)由(1)知:f(A-$\frac{π}{3}$)=2cosA=1,
解得:cosA=$\frac{1}{2}$,
由于:0<A<π
所以:A=$\frac{π}{3}$
且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
则:sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB,
解得:$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}•\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

点评 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,利用余弦型函数的定义域求函数的值域,利用函数的关系式求A得值,利用正弦定理函数的正弦值.

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