Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=8，b-c=2，cosA=-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求△ABC的面积S_△ABC和sinB
（Ⅱ）$cos（2A-\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得sinA的值，由余弦定理及已知即可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可求得S_△ABC，由正弦定理即可得解sinB的值．
（Ⅱ）由倍角公式及（Ⅰ）可求cos2A，sin2A的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．

解答 解：（Ⅰ）∵由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（1分）
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{64={b^2}+{c^2}-2bccosA}\\{b-c=2}\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=4}\end{array}}\right.$，…（3分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{15}$…（5分）
∴由$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$得$sinB=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$…（7分）
（Ⅱ）∵$cos2A=2{cos^2}A-1=-\frac{7}{8}，sin2A=2sinAcosA=-\frac{{\sqrt{15}}}{8}$，…（11分）
∴$cos（2A-\frac{π}{6}）$=$cos2Acos\frac{π}{6}+sin2Asin\frac{π}{6}$=$-\frac{{7\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{16}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．