题目内容

9.如果关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和($\frac{1}{b},\frac{1}{a}$),那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果关于x的两个不等式x2+(2m+10)x+2<0与2x2+mx+1<0为“对偶不等式”,则实数m=-10.

分析 根据不等式和方程之间的关系进行求解即可.

解答 解:∵不等式x2+(2m+10)x+2<0与2x2+mx+1<0为“对偶不等式”,
∴x=a,和x=b是方程x2+(2m+10)x+2=0的两个根,
则a+b=-2m-10,ab=2,
x=$\frac{1}{b}$,和x=$\frac{1}{a}$是方程2x2+mx+1=0的两个根,
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-$\frac{m}{2}$,$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$,
即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=-$\frac{m}{2}$,
即$\frac{-2m-10}{2}$=-$\frac{m}{2}$,
解得m=-10,
故答案为:-10

点评 本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程之间的应用,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.

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