Question

6．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，求函数的最大值和最小值．
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．
（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．
（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，
又f（x+1）-f（x）=2x-1
得2ax+a+b=2x-1，故解得：a=1，b=-2，
所以f（x）=x²-2x+2．----------（a，b，c各（1分），解析式1分）-------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴为x=1∈[-1，2]，
故f_min（x）=f（1）=1，又f（-1）=5，f（2）=2，
所以f_max（x）=f（-1）=5．-------------（8分）
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，
则满足$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）＞0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5+m＞0}\\{2-2m＜0}\\{10-4m＞0}\end{array}}\right.$-------------（12分）

解得：$1＜m＜\frac{5}{2}$．-------------（14分）

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．