Question

【题目】在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.

（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）先求得圆C的直角坐标方程，然后再化成极坐标方程，消去直线参数方程中的参数，可得普通方程．（Ⅱ）求得圆心到直线的距离，根据半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形求解得到，然后再求最小值．也可根据几何法直接求解．

试题解析：

（Ⅰ）在直角坐标系中，圆的圆心为，

故圆的直角坐标方程为.

即，

将代入上式可得，

即.

∴圆的极坐标方程为．

将方程消去参数得.

∴直线的普通方程为：.

（Ⅱ）法一：直线过圆内一定点，当时，有最小值，

∴.

法二：点到直线的距离，

∴ .

当时，有最小值.