Question

14．如图△OAB，其中$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，M，N分别是边OA，OB上的点，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{BM}$相交于P，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OP}$．

Answer 1

分析 根据题意，用$\overrightarrow{MP}$、$\overrightarrow{NP}$、$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$表示出$\overrightarrow{OP}$，再用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示出来即可．

解答 解：如图所示，
设$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{NP}$=μ$\overrightarrow{NA}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MP}$
=$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{MB}$
=$\overrightarrow{OM}$+λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{0B}$
=$\frac{1}{3}$（1-λ）$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$；
同理，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{ON}$+μ$\overrightarrow{NA}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ON}$+μ（$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{2}$（1-μ）$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{a}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（1-λ）=μ}\\{\frac{1}{2}（1-μ）=λ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{2}{5}$，μ=$\frac{1}{5}$；
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的加法与减法运算几何意义的应用问题，是基础题目．