题目内容
已知数列的前
项和为
,且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,
,求使
恒成立的实数
的取值范围.
(I);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(I)首先由求得
.为了求得通项公式,应由
消去
推得
的递推公式:
,即
,显然这是一个等比数列,由此可得其通项公式.
(Ⅱ)首先将化简:
,显然用裂项法可求得
:
.
不等式对任意
恒成立,也就是
恒成立,所以
.
设,下面就来求其最大值.求数列的最值,首先研究数列的单调性.研究数列的单调性,一般考查相邻两项的差的符号.
,由此可知,
时,数列
单调递减,
时,数列
单调递增.所以
最大,从而
.
试题解析:(I)由可得
, 1分
∵, ∴
,
∴,即
, 3分
∴数列是以
为首项,公比为
的等比数列,∴
. 5分
(Ⅱ) 7分
∴ 8分
由对任意
恒成立,即实数
恒成立;
设,
,
∴当时,数列
单调递减,
时,数列
单调递增; 10分
又,∴数列
最大项的值为
∴ 12分
考点:1、等比数列;2、裂项法求和;3、数列的单调性及最值.

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