题目内容
【题目】已知椭圆(
)经过
与
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆
交于
两点,椭圆
上一点
满足
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意将点的坐标代入椭圆方程即可求得椭圆的方程为;
(2)利用(1)中求得的椭圆方程结合题意分类讨论可证得为定值2.
试题解析:
(1)将 与(
,
)两点代入椭圆C的方程,
得解得
. ∴椭圆PM2的方程为
.
(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.
①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时
=
.
同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M在椭圆的一个短轴顶点,此时
=
.
②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k≠0),
则直线OM的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由解得
,
,
∴=
,同理
,
所以=2×
+
=2,
故=2为定值.
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