题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)线面垂直的证明,往往利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,一般从两个方面,一是利用平几知识,如本题经解三角形可得,再根据中点条件得平行条件,从而可得
.二是利用线面位置关系有关定理进行转化,如本题利用面面垂直的性质定理可得线面垂直,再根据线面垂直性质定理可得线线垂直.(Ⅱ)解决有关线面角的问题,一般利用空间向量数量积进行处理比较方便,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出面的法向量,再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角之间关系列等量关系,求出比值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为
,
,
所以.由
分别为
的中点,得
,
所以.
因为侧面底面
,且
,所以
底面
.
又因为底面
,所以
.
又因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:因为底面
,
,所以
两两垂直,
以分别为
、
、
,建立空间直角坐标系,
则,
所以,
,
,
设,则
,
所以,
,易得平面
的法向量
.
设平面的法向量为
,由
,
,得
令, 得
.
因为直线与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
所以,即
,所以
,
解得,或
(舍). 综上所得:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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