题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,
,
是等边三角形,且侧面
底面
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连接,交
于
点,连接
,
,得到四边形
是平行四边形,∴
为
的中点.由
为
的中点,可得
,从而证明
平面
.
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示坐标系,
利用向量法能求出平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)连接,交
于
点,连接
,
,
∵且
,
为
的中点,∴
,
,
∴四边形是平行四边形,∴
为
的中点.
∵为
的中点,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
(Ⅱ)连接,∵
为
的边
的中点,∴
,
∵平面底面
,∴
底面
,
∴,
.
∵为
的中点,∴
,∴四边形
为平行四边形,∴
,
∵,∴
,
以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示坐标系,
设,则
,
,
,
∴,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则.即
,
令,得
,
设平面的法向量为
,
则.即
,
令,得
,
设平面与平面
所成二面角的平面角为
(锐角),
则.
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目