题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0),圆Q:(x﹣2)2+(y﹣ 2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0, )到椭圆C的右焦点的距离为
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P作互相垂直的两条直线l1 , l2 , 且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围.

【答案】
(1)解:圆Q:(x﹣2)2+(y﹣ 2=2的圆心为(2, ),

代入椭圆方程可得 =1,

由点P(0, )到椭圆C的右焦点的距离为 ,即有 =

解得c=2,即a2﹣b2=4,

解得a=2 ,b=2,

即有椭圆的方程为 =1


(2)解:当直线l1:y= ,代入圆的方程可得x=2±

可得M的坐标为(2± ),又|AB|=4,

可得△MAB的面积为 ×2×4=4;

设直线y=kx+ ,代入圆Q的方程可得,(1+k2)x2﹣4x+2=0,

可得中点M( ),

|MP|= =

设直线AB的方程为y=﹣ x+ ,代入椭圆方程,可得:

(2+k2)x2﹣4 kx﹣4k2=0,

设(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2= ,x1x2=

则|AB|=

=

可得△MAB的面积为S=

=4

设t=4+k2(5>t>4),可得 = = =1,

可得S<4,且S>0,

综上可得,△MAB的面积的取值范围是(0,4]


【解析】(1)求得圆Q的圆心,代入椭圆方程,运用两点的距离公式,解方程可得a,b的值,进而得到椭圆方程;(2)讨论两直线的斜率不存在和为0,求得三角形MAB的面积为4;设直线y=kx+ ,代入圆Q的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,求得MP的长,再由直线AB的方程为y=﹣ x+ ,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式,化简整理,由换元法,结合函数的单调性,可得面积的范围.

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