题目内容
【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足 
，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB， ∵tanA= 
，tanB= 
，
∴ 
= 
= 
= 
，
∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA= 
，即A= 
，
∴cosA= 
= ，
∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S= bcsinA≤ ×3× 
= ，
则△ABC面积的最大值为： ．
所以答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:
，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:
;
;
．
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