Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．
（Ⅰ）求证：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上， ∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
∴CE⊥平面PBE，而BP平面PBE，
∴PB⊥CE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．

则 ， ， ，
设平面PCD的法向量为
则 ，即 ，令 ，可得
设平面PBC的法向量为
则 ，即 ，令 ，可得 ∴
考虑到二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，则二面角B﹣PC﹣D的余弦值为
【解析】（Ⅰ）点P在平面BCDE的射影O落在BE上，证明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE．（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．